Cálculo de espesores
(Ice thickness equations)Para calcular el espesor de hielo en cada punto de medición, se emplea la siguiente ecuación basada en trigonometría básica y cinemática (CASASSA & RIVERA, 1998):
(Ecuación 1)
Donde,
H, es el espesor de hielo, en m
va, es la velocidad de propagación de la onda en el aire (299.8 m/ms)
vi, es la velocidad de propagación de la onda en el hielo, en m/ms
s, es la distancia entre el centro geométrico del transmisor y el receptor, en m
t , es el tiempo de retorno del eco subglacial (two-way travel time), en msNota: ms corresponde a microsegundos.
Para determinar la velocidad de propagación de las ondas radar en el hielo, pueden emplearse valores conocidos de permitividad dieléctrica relativa, obtenidos en laboratorio. Para el hielo puro y homogéneo, puede aplicarse la siguiente ecuación (MACHARET et al. 1993):
(Ecuación 2)
Donde,
e, es la parte real de la permitividad dieléctrica relativa del hielo (en adelante permitividad).
En el caso de glaciares fríos, JEZEK et al. (1978) midieron valores de velocidades de propagación en hielo del orden de 167 m/ms, lo que implica una permitividad cercana a 3.17.
Para glaciares temperados sin embargo, MACHARET et al. (1993) midieron velocidades menores, del orden de 161 ± 6.9 m/ms, especialmente en las zonas de ablación de glaciares en la ex URSS. Lo que implica una permitividad promedio de 3.47.
Aplicar una permitividad teórica a glaciares temperados como los existentes en Chile, puede generar algunas diferencias significativas de velocidad, debido a varios factores.
En primera instancia, el margen de error en la velocidad del hielo de MACHARET et al. (1993), puede explicarse por inhomogeneidades en la presencia de agua en el hielo y las distintas capas de nieve-neviza-hielo en el glaciar.
Otro factor que puede incidir en la velocidad de propagación de las señales en el hielo, es la frecuencia central del sistema (PLEWES & HUBBARD, 2001).
La frecuencia central del sistema empleado, es una función de las características del transmisor, y de la naturaleza de las antenas, particularmente su largo. La frecuencia puede ser calculada según la siguiente ecuación, que relaciona longitud de onda con velocidad de propagación de la onda (LUCERO, 2001):
(Ecuación 3)
Donde,
f, frecuencia central del sistema (MHz).
L, es el largo del semi dipolo empleado en el sistema (m).Otro factor que puede incidir en la velocidad de propagación de las ondas en el hielo es la variación en la conductividad eléctrica del hielo, que se genera por presencia de impurezas, tales como cenizas volcánicas, materiales morrénicos, etc. Para estimar el factor de pérdida (Pw), asociado a la presencia de impurezas, puede emplearse la siguiente ecuación (PLEWES &HUBBARD, 2001);
(Ecuación 4)
Donde,
c, es la conductividad eléctrica del hielo en (mS / m)
O, es la frecuencia angular del sistema, que según REES (2001), puede calcularse con la siguiente ecuación:(Ecuación 5)
Donde,
Pi, es 3.1416
La ecuación que relaciona los anteriores parámetros y que permite estimar la velocidad de transmisión de señales en el hielo, está definida por la siguiente ecuación (PLEWES & HUBBARD, 2001);
(Ecuación 6)
Debido a que en Chile no existen mediciones propias de velocidad de transmisión de las señales de radar en el hielo, se asumirán las velocidades obtenidas en glaciares temperados por MACHARET et al. (1993).
Para determinar el error en la determinación del espesor de hielo, se emplea la ecuación siguiente,
(Ecuación 7)
Donde,
RMS (Root-mean-square o error cuadrático medio), es el error del conjunto de datos (m)
H, es el espesor medido en el punto “x” donde dos perfiles RES se cruzan (m)
n, el número de datos comparadosLos datos comparables corresponden a intersecciones de perfiles de radar, donde se mide el mismo punto en dos perfiles distintos o donde se sabe el espesor por otros métodos (sísmica o testigos de hielo).
Referencias
CASASSA, G. & A. RIVERA, 1998. Digital radio-echo sounding at Tyndall Glacier, Patagonia. Anales del Instituto de la Patagonia, Serie Ciencias Naturales, 26:129-135.
JEZEK, K., J. CLOUGH, C. BENTLEY, & S. SHABTAIE, 1978. Dielectric permitivity of glacier ice measured in situ by radar wide-angle reflection. Journal of Glaciology, 21(85):199-208.
LUCERO, N. 2002. Diseño de un radar en HF para medición de espesores de hielo, con ayuda de un helicóptero. Tesis de Ingeniero Civil Eléctrico, Universidad de Magallanes, 189 pp.
MACHARET, Y., M. MOSKALEVSKY, & E. VASILENKO, 1993. Velocity of radio waves in glaciers as an inidicator of their hydrothermal state, structure and regime. Journal of Glaciology, 29(132): 373-384.
PLEWES, L. & B. HUBBARD, 2001. A review of the use of radio-echo sounding in glaciology. Progress in Physical Geography 25(2): 203-236.
REES, W. 2001. Physical principles of remote sensing. 2nd Edition, Cambridge University Press, UK, 343 pp.
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